Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. (Galileo Galilei)

 

Zwar sind die Kompetenzen, die man an einer österreichischen AHS und damit auch an unserer Schule im regulären Mathematik-Unterricht des Gymnasiums und des Realgymnasiums erwerben kann, eine solide Basis, um die mathematischen Anforderungen eine Universitäts- oder Fachhochschulstudiums meistern zu können.

Viele Fragen und Aufgabenstellungen, die in diversen mehr oder minder „mathematiklastigen“ Studien behandelt werden, können aber im mathematischen Regelunterricht leider nur kurz und oft auch gar nicht behandelt werden.

Eine Möglichkeit, sich eine bessere Ausgangsposition für den Start in ein entsprechendes technisches, naturwissenschaftliches oder wirtschaftswissenschaftliches Studium zu erwerben, ist der Besuch des Wahlpflichtfachs Mathematik.

In den vergangenen Schuljahren war es wiederholt möglich, am Pestalozzigymnasium unter Leitung von Dr. Bader, Mag. Müller und Mag. Perz Kurse für das Wahlpflichtfach Mathematik abzuhalten. Dabei wurden unter anderen Themen auch die folgenden behandelt:

 

Kryptologie, Verschlüsselungen (Bader, Perz)

Die Kryptologie beschäftigt sich mit Informationssicherheit. Bis ins späte 20. Jahrhundert ging es dabei fast ausschließlich um die Entwicklung von Verschlüsselungsverfahren („Kryptografie“) und die Untersuchung von Stärken und Schwächen solcher Verfahren („Kryptanalyse“); die Kryptologie  „roch“ nach Spionage und Militär. Mit der enormen Zunahme des elektronischen Datenverkehrs kamen weitere Bereiche wie digitale Signaturen, Identifikationsprotokolle und elektronisches Geld dazu, die beispielsweise für Datensicherheit im Internet oder bei Bankomaten eine wesentliche Rolle spielen.

Viele dabei verwendete Verfahren beruhen überraschenderweise auf Überlegungen zum Thema Teilbarkeit („Zahlentheorie“). Die erfolgreichsten heutzutage verwendeten Verschlüsselungs-verfahren nutzen vereinfacht ausgedrückt die Tatsache, dass es zwar recht einfach möglich ist, zwei auch sehr große Zahlen mit einander zu multiplizieren, dass aber umgekehrt die Bestimmung der Primfaktorenzerlegung einer  sehr großen Zahl mit (auch unter Computereinsatz) immensem Aufwand verbunden sein kann.    

  

Grundlagen der Mathematik: Beweismethoden (Perz)

Beweise, also Herleitungen der Richtigkeit oder auch Unrichtigkeit von mathematischen Ergebnissen aus als richtig vorausgesetzten Grundregeln („Axiomen“) und schon bekannten Ergebnissen spielen für einen soliden Aufbau der Mathematik eine entscheidende Rolle. Im Wahlpflichtfach besteht die Möglichkeit, vielseitig verwendbare Beweismethoden kennenzulernen, die im regulären Unterricht nicht behandelt werden. Ein Beispiel ist das „Schubfachprinzip“, das auf folgender einfacher Tatsache beruht: Verteilt man n+1 Gegenstände auf n Fächer, dann enthält mindestens ein Fach mindestens 2 Gegenstände.   

 

Behandlung von Ungleichungen (Perz)

 

Matrizen und ihre Anwendungen (Bader, Müller, Perz)

 

Graphen und Netzpläne (Perz)

Warum ist es in manchen Orten mit Brücken über Flüsse möglich, einen Rundgang zu machen und dabei jede Brücke einmal zu überschreiten, und in anderen Orten nicht?

Wie lässt sich die optimale Durchführung eines umfangreicheren Bauvorhabens planen, wenn für jeden Einzelschritt die nötige Zeit bekannt ist?

Diese beiden auf den ersten Blick sehr unterschiedlichen Fragen lassen sich unter Verwendung von sogenannten Graphen untersuchen und lösen. Dabei verwendet man schematische Darstellungen von (im ersten Fall) Stadtplänen oder (im zweiten Fall) Arbeitsabläufen, in denen Stadtteile beziehungsweise Anfangspunkte von Arbeitsschritten als Punkt („Knoten“), Brücken beziehungsweise Arbeitsschritte als Verbindungen von Punkten („Kanten“) dargestellt werden.

 

Splines (Bader)

Der aus dem Englischen stammende Begriff Spline (für Keil bzw. vernieten für to spline) wurde erstmals 1946 in einer englischen Veröffentlichung von Isaac Jacob Schoenberg für glatte, harmonische, zusammengesetzte mathematische Kurven (dritten Grades) benutzt. Heute sind Splines in der Autoindustrie, bei der Konstruktion von Autokarosserien, bei der Konstruktion von Achterbahnen, bei der Gestaltung von Vektorgraphiken, Schriftsätzen und Sonderzeichen, aber auch in den Filmstudios unverzichtbar: „ … the morphing of Arnold Schwarzenegger’s adversary into the various forms he takes on in Terminator 2 is really a bit of mathematical magic: It is B-splines that drive the sophistical computer graphics.“

 

Computerunterstützte Mathematik mit Wolfram Mathematica (Bader)

Wolfram Mathematica ist eines der meistbenutzten mathematisch-naturwissenschaftlichen Programmpakete. Das Softwarepaket Mathematica enthält unter anderem ein Computer‑Algebra‑System zur symbolischen Verarbeitung von Gleichungen , eine Numerik‑Software zum numerischen Lösen oder Auswerten von Gleichungen und ein Visualisierungs‑Tool zum Darstellen von Graphen in 2D und 3D. Neben umfangreichreichen  Visualisierungsmöglichkeiten können numerische Berechnungen in beliebiger Genauigkeit gezeigt werden und auch Sound erzeugt werden.

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